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2020考研輕松學:高等數學的奧秘(數學一)
考研數學用書2020·復習精導-考點精析-題型精講-專題精練

 

商城價35.10 今日促銷
定 價¥78.00
作 者中公教育研究生考試研究院
出版時間2019/7/1
出版社世界圖書出版公司
ISBN9787519262686
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作 者:中公教育研究生考試研究院
出版社:世界圖書出版公司
出版時間:2019/7/1
版 次:1
裝 幀:袋裝
開  本:16開
ISBN:9787519262686
  商品介紹

    《中公版·2020考研輕松學:高等數學的奧秘(數學一)》以真題為導向,以考試大綱為基準,在中公教育研究生考試研究院全年授課講義、習題的基礎之上整合、擴充、優化而來。每章主要內容包括:
“復習精導”:重現考試大綱,以表格形式統計歷年真題分布,并以“考情速遞”的形式指出每一章的考試要點和趨勢,給出具體復習建議。使考生形成框架式考點分類。
“考點精析”:全面講解考試大綱所規定的基本知識點,重點闡述知識點的內涵和外延以及復習過程中可能存在的問題。這一部分請您務必仔細研讀,并在做題后溫故知新。
“題型精講”:總結本章在考試中的主要考點,通過從歷年真題中精選以及自主研發命制的經典例題,讓您系統全面地領會概率論與數理統計的基本思想,深化知識理解,培養解題能力。這一部分的例題請您務必反復練習,力求做到融會貫通。
“專題精練”:這部分是每個章節的課后作業,用于課下的復習與鞏固。這一部分無論是題型設置還是題量和難度都盡量和“題型精講”部分保持一致,確保您通過課后練習能夠有效鞏固所學內容。這一部分的題目請您務必獨立完成,一方面檢驗自身的學習效果、查漏補缺,另一方面增長見識、培養獨立做題的能力。
另外,為了對核心考點進行更加深入的闡述,同時也更加全面地解答考生在學習過程中可能遇到的問題,我們在書中的關鍵知識點和例題后附有精心錄制的講解視頻,掃描對應的二維碼即可查看。與此同時,我們還設置了與本書配套的直播課程,由中公考研名師講解書中的核心考點及例題。

  目錄

第一章極限的概念、性質及計算
復習精導
一、考試內容及要求
二、歷年真題分布統計
考點精析
一、基本概念
二、基本性質
三、重要公式與定理
題型精講
一、函數極限的計算
二、數列極限的計算
三、無窮小的比較
四、對收斂性及極限性質的考查
專題精練
一、函數極限的計算
二、數列極限的計算
三、無窮小的比較
四、對收斂性及極限性質的考查
參考答案及解析
第二章極限的應用
復習精導
一、考試內容及要求
二、歷年真題分布統計
考點精析
一、連續與間斷點
二、漸近線
三、導數與微分
四、多元函數微分學的概念
五、方向導數和梯度
題型精講
一、連續與間斷點
二、漸近線
三、導數與微分
四、連續、可導與可微的關系
五、方向導數與梯度
專題精練
一、連續與間斷點
二、漸近線
三、導數與微分
四、連續、可導與可微的關系
五、方向導數與梯度
參考答案及解析
第三章導數的計算
復習精導
一、考試內容及要求
二、歷年真題分布統計
考點精析
一、一元函數導數的計算
二、多元函數偏導數的計算
題型精講
一、一元函數導數的計算
二、多元函數偏導數的計算
專題精練
一、一元函數導數的計算
二、多元函數偏導數的計算
參考答案及解析
第四章導數的應用
復習精導
一、考試內容及要求
二、歷年真題分布統計
考點精析
一、導數的幾何與物理意義
二、單調性與凹凸性
三、極值和拐點
四、多元函數的極值
五、偏導數在空間解析幾何中的應用
題型精講
一、導數的幾何與物理意義
二、單調性和凹凸性
三、極值和拐點
四、多元函數的極值
五、偏導數在空間解析幾何中的應用
專題精練
一、導數的幾何與物理意義
二、單調性和凹凸性
三、極值與拐點
四、多元函數的極值
五、偏導數在空間解析幾何中的應用
參考答案及解析
第五章不定積分
復習精導
一、考試內容及要求
二、歷年真題分布統計
考點精析
一、基本概念
二、基本性質
三、常用公式
題型精講
一、有理函數積分
二、三角有理式的積分
三、指數函數的積分
四、含有根式的積分
五、分部積分法的使用
專題精練
一、有理函數積分
二、三角有理式的積分
三、指數函數的積分
四、根式的處理
五、分部積分法的使用
參考答案及解析
第六章定積分的概念、性質及計算
復習精導
一、考試內容及要求
二、歷年真題分布統計
考點精析
一、定積分的定義
二、定積分的性質
三、微積分基本定理
四、定積分的常用方法
五、廣義積分
題型精講
一、定積分的比較
二、對變限積分的討論
三、定積分的計算
四、廣義積分
專題精練
一、定積分的比較
二、對變限積分的討論
三、定積分的計算
四、廣義積分
參考答案及解析
第七章定積分的應用
復習精導
一、考試內容及要求
二、歷年真題分布統計
考點精析
一、平面圖形的面積
二、簡單幾何體的體積
三、曲線弧長
四、旋轉曲面面積
五、功
六、質心和形心
七、液體的靜壓力
題型精講
一、平面圖形的面積
二、簡單幾何體的體積
三、曲線弧長
四、旋轉曲面面積
五、功
六、質心和形心
七、液體的靜壓力
專題精練
一、平面圖形的面積
二、簡單幾何體的體積
三、曲線弧長
四、旋轉曲面面積
五、功
六、質心和形心
七、液體的靜壓力
參考答案及解析
第八章中值定理
復習精導
一、考試內容及要求
二、歷年真題分布統計
考點精析
一、閉區間上連續函數的性質
二、微分中值定理
三、積分中值定理
題型精講
一、對定理內容的考查
二、對閉區間上連續函數性質的考查
三、費馬引理與羅爾定理
四、輔助函數的構造
五、雙中值問題
六、泰勒中值定理的使用
專題精練
一、對定理內容的考查
二、對閉區間上連續函數性質的考查
三、費馬引理與羅爾定理
四、輔助函數的構造
五、雙中值問題
六、泰勒中值定理的使用
參考答案及解析
第九章微分方程
復習精導
一、考試內容及要求
二、歷年真題分布統計
考點精析
一、基本概念
二、一階微分方程
三、高階微分方程
題型精講
一、一階微分方程的求解
二、高階微分方程
三、線性微分方程解的性質
四、積分方程的求解
五、微分方程的應用
專題精練
一、一階微分方程的求解
二、高階微分方程
三、線性微分方程解的性質
四、積分方程的求解
五、微分方程的應用
參考答案及解析
第十章常數項級數
復習精導
一、考試內容及要求
二、歷年真題分布統計
考點精析
一、基本概念
二、基本性質
三、正項級數斂散性判別法
四、一般項級數斂散性的判別
題型精講
一、運用定義判斷級數斂散性
二、對斂散性性質的運用
三、正項級數斂散性的判別
四、一般項級數斂散性的判別
專題精練
一、運用定義判斷級數斂散性
二、對斂散性性質的運用
三、正項級數斂散性的判別
四、一般項級數斂散性的判別
參考答案及解析
第十一章函數項級數
復習精導
一、考試內容及要求
二、歷年真題分布統計
考點精析
一、基本概念
二、冪級數的收斂半徑與收斂域
三、冪級數求和
四、函數的冪級數展開
五、傅里葉級數
題型精講
一、冪級數的收斂半徑與收斂域
二、冪級數求和
三、將函數展開成冪級數
四、傅里葉級數
專題精練
一、冪級數的收斂半徑與收斂域
二、冪級數求和
三、將函數展開成冪級數
四、傅里葉級數
參考答案及解析
第十二章向量代數與空間解析幾何
復習精導
一、考試內容及要求
二、歷年真題分布統計
考點精析
一、空間直角坐標系
二、向量
三、平面與直線
四、簡單曲面
題型精講
一、向量的運算
二、直線與平面
三、簡單曲面
專題精練
一、向量的運算
二、直線與平面
三、簡單曲面
參考答案及解析
第十三章重積分
復習精導
一、考試內容及要求
二、歷年真題分布統計
考點精析
一、基本概念
二、基本性質
三、對稱性
四、計算方法
題型精講
一、對重積分性質的考查
二、二重積分的計算
三、三重積分的計算
四、綜合問題
專題精練
一、對重積分性質的考查
二、二重積分的計算
三、三重積分的計算
四、綜合問題
參考答案及解析
第十四章第一類曲線積分與曲面積分
復習精導
一、考試內容及要求
二、歷年真題分布統計
考點精析
一、第一類曲線積分
二、第一類曲面積分
題型精講
一、第一類曲線積分的計算
二、第一類曲面積分的計算
專題精練
一、第一類曲線積分的計算
二、第一類曲面積分的計算
參考答案及解析
第十五章第二類曲線積分與曲面積分
復習精導
一、考試內容及要求
二、歷年真題分布統計
考點精析
一、第二類曲線積分
二、第二類曲面積分
三、場論初步
題型精講
一、第二類曲線積分的計算(二維)
二、積分與路徑無關的討論
三、第二類曲面積分的計算
四、第二類曲線積分的計算(三維)
五、場論初步
專題精練
一、第二類曲線積分的計算(二維)
二、積分與路徑無關的討論
三、第二類曲面積分的計算
四、第二類曲線積分的計算(三維)
五、場論初步
參考答案及解析

  編輯推薦

    《中公版·2020考研輕松學:高等數學的奧秘(數學一)》本書以“考研復習新思維”為定位,主要有以下3個特點:
1.易讀——設計清新大氣
本書采用裸背鎖線裝訂工藝,實現書頁180°平鋪閱讀,同時采用較為舒朗的行間距,減輕視覺壓力。
2.易學——拒絕枯燥學習
為了對核心考點進行更加深入的闡述,也為了更加全面地解答您在學習過程中可能遇到的問題,本書在關鍵知識點和例題后附有精心錄制的講解視頻,掃描對應的二維碼即可查看;同時本書配套中公名師線上直播課程,營造輕松愉悅的學習體驗。
3.易會——解析深入淺出
本書通過詳盡的解析點撥作答思路,讓考生在零基礎的情況下也能輕松get解題方法,大大提升學習效果。

  文摘
高等數學的奧秘(數學一)
  第一章極限的概念、性質及計算
  第一章極限的概念、性質及計算
  一、考試內容及要求
  數列極限與函數極限的定義及其性質,函數的左極限和右極限,無窮小量和無窮大量的概念及其關系,無窮小量的性質及無窮小量的比較,極限的四則運算,極限存在的兩個準則:單調有界準則和夾逼準則,兩個重要極限:
  limx→0sinxx=1,limx→∞1+1xx=e,
  洛必達(L’Hospital)法則,泰勒(Taylor)定理,定積分的概念。
  1理解極限的概念,理解函數左極限與右極限的概念以及函數極限存在與左極限、右極限之間的關系。
  2掌握極限的性質及四則運算法則。
  3掌握極限存在的兩個準則,并會利用它們求極限,掌握利用兩個重要極限求極限的方法。
  4理解無窮小量、無窮大量的概念,掌握無窮小量的比較方法,會用等價無窮小量求極限。
  5掌握用洛必達法則及泰勒公式求未定式極限的方法。
  6會用定積分的定義求簡單的和式極限。
  二、歷年真題分布統計
  2000—2019年本章真題分布統計
  年份函數極限的
  計算數列極限的
  計算及證明無窮小量的
  比較對收斂性及極限
  性質的考查總計
  2000年6分6分
  2001年
  2002年6分6分
  2003年4分4分8分
  2004年4分4分8分
  2005年
  2006年4分12分16分
  2007年4分4分8分
  2008年9分4分13分
  2009年4分4分
  2010年4分5分9分
  2011年10分5分15分
  2012年
  2013年4分4分
  2014年10分10分
  2015年4分10分14分
  2016年4分4分
  2017年10分10分
  2018年4分10分14分
  2019年4分4分
  總計63分42分32分16分153分
  考研數學中,本章屬于必考考點,幾乎每年都會涉及,考題主要以客觀題為主,也有部分解答題。在近五年的真題中,本章考查比例有增加的趨勢。從考題分布來看,函數極限的計算是本章的核心內容,占了超過40%的比例,且無窮小的比較考查的也是函數極限的計算。所以,在本章的學習中,熟練掌握函數極限中各類未定式的計算方法是重點。此外,在近幾年的真題中,對數列極限計算的考查比例也有所增加,2017年和2018年的真題中分別考查了運用定積分的定義及單調有界準則計算極限。除此之外,真題中還考查過對極限收斂性以及極限相關性質的證明,運用的考點主要包括極限的保號性、四則運算法則以及極限的收斂準則,這種題型考查頻率不高,但得分率較低,是本章學習的難點,對于志在沖擊高分的考生來說,這是必須突破的一道難關,其他考生簡單了解即可,不必深究。
  一、基本概念
  (一)極限
  1函數極限
  視頻講解
  設函數f(x)在點a的某去心鄰域內有定義,若存在實數A,使得對ε>0,總存在δ>0,當x∈(a-δ,a)∪(a,a+δ)時,有|f(x)-A|<ε,則稱x→a時,f(x)的極限存在,并將其極限值定義為A,記作limx→af(x)=A。
  設函數f(x)在區間(-∞,-M)∪(M,+∞)內有定義(其中M為某正數),若存在實數A,使得對ε>0,存在X>0,當x∈(-∞,-X)∪(X,+∞)時,有|f(x)-A|<ε,則稱x→∞時,f(x)的極限存在,并將其極限值定義為A,記作limx→∞f(x)=A。
  2左、右極限
  設函數f(x)在點a的某左鄰域內有定義,若存在實數A,使得對ε>0,存在δ>0,當x∈(a-δ,a)時,有|f(x)-A|<ε,則稱f(x)在a點的左極限存在,并將其極限定義為A,記作limx→a-f(x)=A。
  設函數f(x)在區間(-∞,-M)內有定義(其中M為某正數),若存在實數A,使得對ε>0,存在X>0,當x∈(-∞,-X)時,有|f(x)-A|<ε,則稱x→-∞時,f(x)的極限存在,并將其極限定義為A,記作limx→-∞f(x)=A。
  右極限limx→a+f(x)與limx→+∞f(x)的定義類似。
  函數極限可以統一用limx→□f(x)=A來表示,定義可以統一概括成一句話:當x在“□”的“附近”取值時(或x和“□”足夠接近時),f(x)和A的距離可以任意小。“附近”的含義:在極限過程x→a中,a的“附近”表示a的去心鄰域(a-δ,a)∪(a,a+δ);在極限過程x→∞中,∞的“附近”指|x|足夠大時x的取值范圍,即區間(-∞,-X)∪(X,+∞)。在極限過程x→a-,a+以及-∞,+∞中,“附近”的含義類似。
  3數列極限
  對數列{xn},若存在實數a,使得對ε>0,存在正整數N,當n>N時,恒有|xn-a|<ε,則稱數列{xn}的極限存在或數列{xn}收斂,并將其極限定義為a,記作limn→∞=a。
  ①數列極限的定義也可以概括成一句話:當n足夠大時,xn和a的距離可以任意小。
  ②注意n→∞的兩個重要特征:首先,這里的∞專指+∞;其次,n的取值是離散的。對于約定表示正整數的符號,如m,k,i,j等,它們→∞都有類似的特征。
  ③函數極限與數列極限的關系:如果limx→+∞f(x)=A,則必有limn→∞f(n)=A;反之,如果limn→∞f(n)=A,則不一定有limx→+∞f(x)=A。
  (二)無窮小量與無窮大量
  1無窮小量
  若在某極限過程x→□(這里的x→□可以指函數極限x→a,x→a-,x→a+,x→∞,x→-∞,x→+∞中的任意一種,下同,數列極限無窮小量定義的表述類似)中,f(x)的極限為0,即limx→□f(x)=0,則稱x→□時,f(x)為無窮小量。
  ①在某極限過程中,函數極限為0,則在該極限過程中,函數為無窮小量。由定義可知,無窮小量不一定是0(但0一定是無窮小量),多數情況下,無窮小量是變化的,而不是靜止不動的。從本質上看,無窮小量是一個變化過程,提到無窮小量的同時,一定要標明極限過程。例如,單獨說“sinx是無窮小量”是沒有意義的,正確的表述為“當x→0時,sinx是無窮小量”。
  ②無窮小量的重要性質:有限個無窮小量的乘積仍為無窮小量;有限個無窮小量的和仍為無窮小量;無窮小量與有界量的乘積仍為無窮小量。
  2無窮大
  若在某極限過程x→□中,函數f(x)的絕對值無限增大,則稱x→□時,f(x)為無窮大量,記作limx→□f(x)=∞。其嚴格的數學表述如下:
  limx→af(x)=∞對M>0,δ>0,當0<|x-a|<δ時,恒有|f(x)|>M;
  limx→∞f(x)=∞對M>0,X>0,當|x|>X時,恒有|f(x)|>M。
  ①無窮大實際上是一個極限不存在的量,但極限不存在的量并不一定都是無窮大;
  ②與無窮小類似,無窮大也是動態變化的,而不是一個靜止不動的數;
  ③無窮大與無窮小的關系:無窮大的倒數是無窮小,非0的無窮小的倒數是無窮大。
  3無窮小的比較
  設limx→□α(x)=limx→□β(x)=0,且α(x),β(x)均在極限點□的附近不為零,則:
  若limx→□α(x)β(x)=0,則稱x→□時,α(x)是β(x)的高階無窮小,β(x)是α(x)的低階無窮小,記作α(x)=o[β(x)];
  若limx→□α(x)β(x)=C≠0,則稱x→□時,α(x)與β(x)為同階無窮小。若常數C=1,則稱x→□時,α(x)與β(x)為等價無窮小,記作α(x)~β(x)。
  視頻講解
  高階無窮小的常用性質,假設α(x)與β(x)均為x→□時的無窮小,且α(x)β(x)≠0,則有:
  ①o[α(x)]±o[α(x)]=o[α(x)],a·o[α(x)]=o[α(x)](a≠0),α(x)o[β(x)]=o[α(x)β(x)];
  ②α(x)~β(x)α(x)=β(x)+o[β(x)]。
  二、基本性質
  (一)四則運算法則
  設limx→□f(x)=A,limx→□g(x)=B,則:
  limx→□[f(x)±g(x)]=limx→□f(x)±limx→□g(x)=A±B;
  limx→□f(x)g(x)=limx→□f(x)·limx→□g(x)=AB;
  limx→□f(x)g(x)=limx→□f(x)limx→□g(x)=AB(B≠0)。
  ①四則運算在極限計算中的基本作用是對函數進行分解,將函數拆分成兩部分的和、差、積或商,各自求完極限之后再分別代入,拆分的時候要注意兩點:一是保證各部分的極限均存在(可以有無窮),二是保證分解之后不會成為未定式。
  ②四則運算中有四種形式的未定式,分別是00型、∞∞型、0·∞型、∞-∞型,在這四種情況下,函數極限不確定,無法直接運用極限的四則運算法則。其余情況下,均可以進行四則運算,例如0∞=0,k·∞=∞(k≠0),∞+C=∞,∞+∞=∞等。這里要注意∞+∞與∞-∞的區別,關鍵在于這兩個無窮大的符號是否一致,如果符號相同,則為∞+∞,結果為∞;如果符號相反則為∞-∞,結果未定。例如limx→-∞(x2+x-x)=∞,而limx→-∞(x2+x+x)則為未定式。
  (二)數列極限的性質
  唯一性:若{xn}收斂,則{xn}的極限limn→∞xn是唯一的。
  有界性:若{xn}收斂,則{xn}有界。
  數列極限存在可以得到數列整體有界。
  保號性:設有數列{xn},若從某一項N開始,當n>N時有xn≥0,則當limn→∞xn存在時,有limn→∞xn≥0;若有limn→∞xn>0,則從某一項N開始,當n>N時有xn>0。
  視頻講解
  (三)函數極限的性質
  唯一性:若limx→x0f(x)存在,則極限limx→x0f(x)是唯一的。
  有界性:若limx→x0f(x)存在,則存在正數δ,使得f(x)在(x0-δ,x0)∪(x0,x0+δ)內有界。
  對于不同的極限過程,函數極限的有界性表述需做一定調整,其內容可以概括為:當f(x)在□處的極限存在時,f(x)在“□的附近”有界。其中“□的附近”的含義與極限定義中對應的表述相同。
  保號性:若存在正數δ,使得對于任意滿足0<|x-x0|<δ的x都有f(x)≥0,則當limx→x0f(x)存在時,有limx→x0f(x)≥0;若limx→x0f(x)>0,則存在正數δ,使得對于任意滿足0<|x-x0|<δ的x都有f(x)>0。
  ①對于不同的極限過程,函數極限的保號性表述需做一定調整,其內容可以概括為:如果在“□的附近”有f(x)≥0,且limx→□f(x)存在,則有limx→□f(x)≥0;如果limx→□f(x)>0,則在“□的附近”有f(x)>0。分別稱為加極限號的保號性及去極限號的保號性。
  ②注意加極限號的時候不等式是帶等號的,去極限號的時候不等式是不帶等號的。
  ③加極限號的時候一定要先保證極限存在。
 
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